NARASOMA NOTEBOOK

Gambar 1 : Erwin Scrodinger (Kang Win)

Di Jawa, seorang bernama Winarto biasa dipanggil Kang Win. Di sini kita memberlakukan hal itu sebagai sapaan untuk menyebut Erwin Schrodinger. Tapi itu tidak penting, apa yang dibahas dalam tulisan kali ini adalah bentuk paling sederhana fungsi gelombang Schrodinger (Kang Win).

Nama Erwin Schrodinger telah beberapa kali saya singgung dalam tulisan sebelumnya, di antaranya adalah pembahasan mengenai paradoks kucing dan kabar terukurnya fungsi gelombang di laboratorium baru - baru ini. Karenanya, let's check to the point. Acuan yang digunakan di sini masih sama, yakni buku fisika modern karya Kenneth Krane. Saran beliau, imajinasikan bahwa diri kita adalah Kang Win yang sedang berusaha untuk mencari persamaan gerak bagi mekanika model baru yang telah populer dengan istilah mekanika kuantum.

Persamaan yang akan kita susun senyatanya harus mengandung beberapa kriteria berikut :

1. Meskipun kita menangani mekanika kuantum yang berbeda dengan mekanika klasik, kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Persamaan kita haruslah memenuhi paham nenek moyang


di mana ketiga suku itu berturut - turut menyatakan energi kinetik, potensial dan total.

2. Bagian kuantumnya muncul dari gelombang de Broglie, karena itu persamaan kita harus memuat hipotesisnya yang terkenal. De Bgroglie menyatakan panjang gelombangnya sebagai ; dan melalui sudut pandang klasik maka persamaan kita harus memuat suku .

3. "Fungsi" dalam persamaan kita haruslah bernilai tunggal, dengan kata lain tidak boleh ada dua probabilitas menemukan partikel di satu titik yang sama. Selain itu persamaan juga mesti dijamin sifat linearnya agar superposisinya terpenuhi.

Umumnya, persamaan gelombang memiliki bentuk matematik , dengan panjang gelombang dan frekuensi . Karenanya kita anggap gelombang de Broglie memiliki bentuk serupa. Abaikan dulu ketergantungan terhadap waktu, dengan meninjau fungsi pada saat . Supaya keren dan berbeda dari fungsi gelobang biasa, kita akan menggunakan lambang (psi besar) dan (psi kecil) sebagai . Jadi


Persamaan diferensial yang solusinya (dan turunan - turunannya), dapat mengandung turunan terhadap atau , tetapi harus muncul dalam bentuk pangkat satu sebagai akibat dari sifat linear yang kita syaratkan sebelumnya. Selain itu kita butuh potensial , dan jika berpangkat satu maka juga harus muncul dalam bentuk pangkat satu sebagai syarat hukum kekekalan energi (kriteria 1). Sementara itu, berkaitan dengan melalui hubungan . Sehingga untuk mendapatkan suku yang mengandung adalah dengan mengambil turunan kedua persamaan (1) terhadap . Maka didapat


Ini biasa disebut persamaan Schrodinger bebas-waktu satu dimensi. Dengan demikian bentuk awal persamaan Kang Win sudah selesai, tapi masih jauh dari target dalam kaitannya dengan mekanika kuantum. Kenyataannya, secara non-relativistik kita tinggal dalam ruang tiga dimensi serta bergantung pada waktu. Belum lagi masalah relativitas. Fiuhhh…

Kenneth Krane dalam bukunya yang berjudul Modern Physics, merekomendasikan misi pencarian persamaan gerak partikel klasik sebelum menginjak persamaan Schrodiger. Ya, saya sedang mempelajarinya. Namun bagi saya pribadi, mencari persamaan gerak partikel klasik itu saja masih merupakan hal baru. Karenanya judul tulisan berikut saya awali dengan kata "belajar" agar sesuai dengan kondisi saya saat ini. Dalam hal ini saya memenggal contoh 1 bab lima buku tersebut disertai penyelesaian soal nomer 1 pada akhir bab.

Contoh 5.1

Sebuah benda bermassa dijatuhkan dari ketinggian di atas sebuah tangki air. Ketika memasuki air, ia mengalami gaya apung yang lebih besar dari beratnya. Gaya viskos air pada benda dapat diabaikan. Carilah perpindahan dan kecepatan benda, dihitung saat dilepaskan hingga muncul kembali ke permukaan air.

Solusi

Ambil sistem koordinat dengan positif ke atas, dan pada permukaan air. Selama benda itu jatuh bebas, ia hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Karenanya, dalam daerah udara di atas air (sebut daerah 1), dari hukum kedua Newton kita dapatkan persamaan

yang memiliki solusi


dan adalah kecepatan dan ketinggian awal saat .

Saat benda memasuki air (daerah 2), gaya yang bekerja padanya menjadi , sehingga persamaan yang didapat menjadi


dengan pemecahan


Keempat solusi memiliki empat koefisien yang belum ditentukan yakni : , , dan . Perhatikan bahwa dan bukan nilai pada saat , melainkan saat meninggalkan daerah 1. Kedua koefisien pertama diperoleh dengan menerapkan syarat awal pada saaat . Karena benda dilepaskan dri keadaan diam pada ketinggian tertentu, maka dan . Sehingga pemecahan di daerah 1 menjadi


Selanjutnya kita tetapkan syarat batas pada permukaan air. Misalnya adalah saat benda memasuki air. Syarat batasnya mengharuskan fungsi dan bersifat kontinu di daerah perbatasan udara-air :


dan


Persyaratan pertama mengatakan bahwa benda tidak menghilang pada suatu waktu di dareah perbatasan lalu muncul kembali di tempat lain pada waktu berikutnya. Persyaratan kedua menyatakan bahwa perubahan laju benda harus mulus pada permukaan air. Jika tidak, maka meskipun , sehingga percepatan mendekati tak hingga.Untuk menerapkan syarat batas ini, terlebih dahulu kita perlu mencari , yang diperoleh dengan mencari waktu ketika menjadi nol.


sehingga


Dengan demikian, laju benda ketika menyentuh air, adalah


Maka syarat batas memberikan


dan


Kita pecahkan kedua persamaan ini secara serempak untuk mendapatkan dan .



Sehingga pemecahan lengkap dalam daerah 2 adalah


Persamaan bagi , , dan memberikan perilaku gerak benda pada saat hingga ia muncul kembali ke permukaan air.

Hasil – hasil ini dapat kita terapkan untuk menghitung sifat gerak lainnya; misalnya, kita dapat mencari kedalaman maksimum yang dicapai benda, yang terjadi ketika . Jika kita ambil sebagai waktu pada saat ini terjadi, maka


Kedalaman adalah nilai pada saat ini, yaitu


Misalkan air tersebut kita ganti dengan permukaan lantai tegar yang memantulkan benda itu secara elastik. Persamaan pada saat berubah drastis. Benda menerima percepatan mendekati tak hingga saat menyentuh lantai sehingga kecepatannya berubah secara diskontinu.

Berikut grafik yang menggambarkan persamaan gerak benda pada kasus pertama :

Gambar 1 : Percepatan 1

Gambar 2 : Kecepatan 1

Gambar 3 : Jarak 1

Dan, jika permukaan air diganti dengan lantai maka grafik akan berubah sebagai berikut :

Gambar 4 : Percepatan 2

Gambar 5 : Kecepatan 2

Gambar 6 : Jarak 2

Soal 1

Sebuah partikel klasik bergerak bebas dalam arah positif dengan laju . Ketika ia melewati titik asal (), ia memasuki daerah 1 dan mengalami perlambatan . Pada saat , di kedudukan , ia meninggalkan daerah 1 dan memasuki daerah 2, serta mengalami perlambatan . Daerah 2 ia tinggalkan pada saat di koordinat , ketika kecepatannya , dan kembali bergerak bebas. Tanpa menuliskan persamaan, buatlah sketsa yang memperlihatkan ketergantungan percepatan, kecepatan dan kedudukannya terhadap waktu mulai dari waktu yang lebih kecil daripada nol hingga yang lebih besar daripada  . Renungkan baik - baik apakah , dan (serta kemiringan - kemiringannya) kontinu.

Penyelesaian

Pertama kita buat sketsa umum gerak partikel tersebut :

Gambar 7 : Sketsa umum gerak partikel dalam soal 1

Perhatikan, di sini kita pilih sistem koordinat dengan nilai positif ke atas yang menyatakan pertambahan jarak sedangkan arahnya diabaikan. Karena itu, secara otomatis "perlambatan" bertempat di bawah di bawah sumbu horizontal.

Gambar 8 : Percepatan 3

Grafik kecepatan diberikan oleh sketsa berikut

Gambar 9 : Kecepatan 3

Terdapat suatu titik di mana perhitungan jarak dimulai (), saat itu .

Gambar 10 : Jarak 3

Di sini terlihat bahwa perubahan kecepatan dan kedudukan partikel tersebut kontinu, sedangkan percepatannya tidak.