 |
| Gambar 1 : Erwin Scrodinger (Kang Win) |
Di Jawa, seorang bernama Winarto biasa dipanggil Kang Win. Di sini kita memberlakukan hal itu sebagai sapaan untuk menyebut Erwin Schrodinger. Tapi itu tidak penting, apa yang dibahas dalam tulisan kali ini adalah bentuk paling sederhana fungsi gelombang Schrodinger (Kang Win).
Nama Erwin Schrodinger telah beberapa kali saya singgung dalam tulisan sebelumnya, di antaranya adalah pembahasan mengenai paradoks kucing dan kabar terukurnya fungsi gelombang di laboratorium baru - baru ini. Karenanya, let's check to the point. Acuan yang digunakan di sini masih sama, yakni buku fisika modern karya Kenneth Krane. Saran beliau, imajinasikan bahwa diri kita adalah Kang Win yang sedang berusaha untuk mencari persamaan gerak bagi mekanika model baru yang telah populer dengan istilah mekanika kuantum.
Persamaan yang akan kita susun senyatanya harus mengandung beberapa kriteria berikut :
1. Meskipun kita menangani mekanika kuantum yang berbeda dengan mekanika klasik, kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Persamaan kita haruslah memenuhi paham nenek moyang
di mana ketiga suku itu berturut - turut menyatakan energi kinetik, potensial dan total.
2. Bagian kuantumnya muncul dari gelombang de Broglie, karena itu persamaan kita harus memuat hipotesisnya yang terkenal. De Bgroglie menyatakan panjang gelombangnya sebagai
; 
dan melalui sudut pandang klasik 
maka persamaan kita harus memuat suku 
.3. "Fungsi" dalam persamaan kita haruslah bernilai tunggal, dengan kata lain tidak boleh ada dua probabilitas menemukan partikel di satu titik yang sama. Selain itu persamaan juga mesti dijamin sifat linearnya agar superposisinya terpenuhi.
Umumnya, persamaan gelombang memiliki bentuk matematik
, dengan panjang gelombang 
dan frekuensi 
. Karenanya kita anggap gelombang de Broglie memiliki bentuk serupa. Abaikan dulu ketergantungan terhadap waktu, dengan meninjau fungsi pada saat 
. Supaya keren dan berbeda dari fungsi gelobang biasa, kita akan menggunakan lambang 
(psi besar) dan 
(psi kecil) sebagai 
. Jadi
(1)Persamaan diferensial yang solusinya
(dan turunan - turunannya), dapat mengandung turunan terhadap 
atau 
, tetapi harus muncul dalam bentuk pangkat satu sebagai akibat dari sifat linear yang kita syaratkan sebelumnya. Selain itu kita butuh potensial 
, dan jika berpangkat satu maka 
juga harus muncul dalam bentuk pangkat satu sebagai syarat hukum kekekalan energi (kriteria 1). Sementara itu, berkaitan dengan 
melalui hubungan 
. Sehingga untuk mendapatkan suku yang mengandung adalah dengan mengambil turunan kedua persamaan (1) terhadap . Maka didapat
(2)Ini biasa disebut persamaan Schrodinger bebas-waktu satu dimensi. Dengan demikian bentuk awal persamaan Kang Win sudah selesai, tapi masih jauh dari target dalam kaitannya dengan mekanika kuantum. Kenyataannya, secara non-relativistik kita tinggal dalam ruang tiga dimensi serta bergantung pada waktu. Belum lagi masalah relativitas. Fiuhhh…
