NARASOMA NOTEBOOK: Catatan Kuliah Mekanika Kuantum (bagian 1)

Catatan Kuliah Mekanika Kuantum (bagian 1)

6 komentar
Posted in Label: Bilangan Kompleks, Catatan Kuliah, Fisika Kuantum, Fungsi Gelombang, Konjugat, Mekanika Gelombang, Vektor Keadaan

Berawal dari outbond riset yang diselenggarakan oleh fakultas saintek kampusku, aku berkenalan dengan salah seorang kakak angkatan. Aku memintanya untuk mengajariku mekanika kuantum, sebab dia anak semester lima dimana mata kuliah yang diambil telah memasuki ranah ‘elegan’. Sayang, dia mengatakan bahwa kemampuannya terbatas. Namun sebagai gantinya dia akan mengenalkan teman – temannya yang ahli dalam bidang tekait.

Dua malam berikutnya dia menyarankan padaku agar aku ikut kuliah mekanika kuantum saja, Senin pagi. spontan kuiyakan, hari itu aku hanya punya satu mata kuliah jam setengah satu siang. Kupikir kebetulan sekali, tanggung kalau harus berangkat siang bolong yang sudah pasti panas. Selain itu mata kuliah mekanika kuantum adalah salah satu incaranku di bangku kuliah ini. Aku mencoba mengikuti kelas ‘selundupan’ itu sebaik mungkin. Semua materi yang disajikan kucatat dan hasilnya kuterbitkan di blog. Lumayan untuk menambah jumlah posting.

Kuliah pertama ini membahas tentang postulat mekanika kuantum. Setidaknya ada lima statemen yang menopang berdirinya panggung mekanika kuantum. Kelima asas tersebut –menurut pak dosen- tidak diragukan lagi kebenarannya. Namanya juga postulat :).

Postulat pertama, tentang keadaan sistem (state of system)
Keadaan sistem fisis untuk sebarang t digambarkan oleh vektor keadaan $\dpi{100} \left | \Psi (x,t) \right \rangle$ (state vector) dalam ruang Hilbert. Untuk konjugat2 kompleksnya biasa dilambangkan dengan $\dpi{100} \left \langle \Psi (x,t) \right |$ dimana vektor tersebut jika diuraikan dalam ruang berbasis–x akan menghasilkan $\dpi{100} \Psi (x,t)$ atau disebut vektor gelombang dalam ruang posisi.

$\dpi{100} \Psi (x,t)$ memuat semua informasi terkait sistem fisis tersebut. Artinya jika $\dpi{100} \Psi (x,t)$ diketahui maka semua hal (informasi) berkaitan dengan sistem tersebut dapat diketahui. Artinya lagi, misi utama dalam mekanika kuantum adalah menentukan fungsi gelombang Schrodinger terdebut untuk keadaan tertentu. Bandingkan dengan mekanika Newtonian yang tugas utamanya adalah menentukan $\dpi{100} x(t)$ sebagai fungsi waktu dan momentum linear $\dpi{100} \vec{p}$ .

Postulat kedua, observabel dan operator
Untuk setiap besaran fisis terdapat operator Hermitian yang mewakili besaran tersebut. Observabel –atau kadang disebut sebagai observabel dinamis- sendiri diartikan sebagai sesuatu yang dapat diukur dan memiliki nilai. Mudahnya, besaran fisis dalam mekanika Newtonian berubah menjadi observabel (operator)1 dalam mekanika kuantum.

Misalnya, untuk menggambarkan energi total dalam mekanika kuantum kita gunakan
$\dpi{100} \hat{H} = -\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + V(x,t)$
Bandingkan dengan Hamiltonian partikel untuk mekanika Newton
$\dpi{100} \hat{H} = -\frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(x)$

Postulat ketiga, nilai eigen
Pengukuran dalam mekanika kuantum dinyatakan dalam persamaan swanilai / nilai eigen.
$\dpi{100} \hat{A} \left | \Psi(x,t) \right\rangle = a_n \left |\Psi _n \rangle$
dimana
$\dpi{100} \hat{A}$ = operator
$\dpi{100} \left | \Psi(x,t) \right\rangle$ = vektor keadaan
$\dpi{100} a_n$ = nilai eigen (swanilai milik operator $\dpi{100} \hat{A}$ )

Nilai eigen menyatakan hasil ukur yang ‘mungkin’ keluar dalam pengukuran.

Postulat keempat, probabilistik suatu pengukuran
Hasil pengukuran dalam mekanika kuantum pda interval $\dpi{100} x$ sampai $\dpi{100} x + dx$ dinyatakan sebagai
$\dpi{100} \rho (x) = dP(x) =\left | \Psi (x) \right |^2 dx$
dimana
$\dpi{100} \rho (x) = dP(x)$ = rapat peluang
$\dpi{100} \left | \Psi (x) \right |^2$ = modulus / magnitude / besaran dari fungsi gelombang

Max Born menyatakan bahwa fungsi gelombang itu sendiri tidak mempunyai makna apa – apa. Konjugatnya, yakni $\dpi{100} \Psi^* (x,t)$ , lah yang menyumbangkan arti fisis, sehingga dengan mengalikan fungsi tersebut dengan konjugatnya maka didapat rapat peluang menemukan partikel.
Sudah barang tentu, peluang untuk menemukan partikel dari $\dpi{100} -\infty$ sampai $\dpi{100} +\infty$ dinyatakan dalam persamaan

Artinya partikel yang diukur benar – benar adal di salah satu tempat, namun sifat probabilistik tidak mengizinkan kita untuk menentukan letaknya secara pasti.

Postulat kelima, fluktuasi terhadap waktu (dinamika sistem kuantum)
Jika mekanika Newton menggambarkan gerak partikel sebagai $\dpi{100} \sum F - m \frac{\mathrm{d^2} x}{{\mathrm{d}t^2}} = 0$ dimana $\dpi{100} \frac{\mathrm{d^2} x}{{\mathrm{d}t^2}}$ adalah ciri khas yang menunjukkan fluktuasi terhadap waktu, maka untuk mekanika kuantum kita tuliskan
$\dpi{100} i \hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi (x,t)$
Kita sebut persamaan di atas sebagai persamaan schrodinger bergantung waktu, yang menggambarkan dinamika vektor keadaan dari suatu sistem fisis.

Kesimpulan :
Dari postulat – postulat mekanika kuantum tersebut di atas kita dapat memahami :

1.   Bagaimana keadaan kuantum suati sistem fisis dituliskan secara matematis
$\dpi{100} \left | \Psi (x,t) \right \rangle \Rightarrow \Psi (x,t)$

2.   Bagaimana mengukur suatu besaran fisis .
Persamaan nilai eigen
$\dpi{100} \hat{A} \left | \Psi(x,t) \right\rangle = a_n \left |\Psi _n \rangle$

3.   Bagaimana suatu sistem kuantum berevolusi
Artinya adalah, jika keadaan kuantum pada saat $\dpi{100} t$ diketahui maka kita dapat menentukan keadaan sistem terdebut untuk sebarang $\dpi{100} t'$ .

Catatan akhir :

Operator ditulis dengan tanda topi , dimana $\dpi{100} \hat{A}$ mewakili suatu observabel tertentu.
Konjugat kompleks : Jika $\dpi{100} z = a + ib$ maka $\dpi{100} z^* = a - ib$