NARASOMA NOTEBOOK: Catatan Kuliah Mekanika Kuantum (bagian 2)

Catatan Kuliah Mekanika Kuantum (bagian 2)

0 komentar
Posted in Label: Catatan Kuliah, Fisika Kuantum, Ruang Hilbert, Vektor Keadaan

Keadaan suatu sistem fisis mikroskopik dalam mekanika kuantum diwakili oleh vektor keadaan (state vector) $\dpi{100} \left | \psi \rangle$ dalam ruang Hilbert H.

Apa yang dimaksud dengan ruang Hilbert H?

Ruang H adalah ruang vektor kompleks yang memenuhi sifat - sifat berikut :
A. H adalah ruang vektor linier.
B. H dibekali dengan hasilkali skalar (scalar product)
C. H separabel
D. H adalah ruang vektor yang komplit.

A. Ruang vektor linier(1)

Andaikan H adalah sebarang himpunan yang terdiri atas himpunan vektor $\dpi{100} \phi _1 , \phi_2 , \phi _3,...\phi_n$ dan himpunan skalar $\dpi{100} a _1,a_2,a _3,...a_n$ . H disebut ruang vektor linier jika dalam H didefinisikan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar sedemikian rupa sehingga dipenuhi sifat - sifat berikut :

a. $\dpi{100} \forall \phi$ dan $\dpi{100} \psi \in H$ maka $\dpi{100} (\phi + \psi) \in H$ . Bentuk seperti ini biasa disebut sifat abelian, tertutup, atau bisa juga disebut klosur.

b. Berlaku sifat komutatif. Untuk $\dpi{100} \forall \phi , \psi \in H$ dipenuhi $\dpi{100} \phi + \psi = \psi + \phi$

c. Berlaku sifat asosiatif. Untuk $\dpi{100} \forall \phi , \psi, \chi \in H$ dipenuhi sifat $\dpi{100} (\phi + \psi) + \chi = \phi + (\psi + \chi)$

d. Terdapat vektor nol $\dpi{100} \theta$ sedemikian sehingga berlaku $\dpi<br><br>{100} \theta + \psi = \psi + \theta = \psi$

e. Terdapat invers (lawan) $\dpi{100} \forall \psi \in H$ terdapat $\dpi{100} -\psi$ sedemikian sehingga $\dpi{100} \psi + (-\psi) = \theta$ .

f. $\dpi{100} \forall \psi \in H$ dan $\dpi{100} a \in \mathbb{C}$ maka $\dpi{100} a \psi$ juga merupakan anggota ruang Hilbert.

g. Berlaku sifat distributif, $\dpi{100} \forall a <br><br>\in \mathbb{C}$ dan $\dpi{100} \phi , \psi \in <br><br>H$ dipenuhi $\dpi{100} a <br><br>(\phi + \psi) = a\phi + a\psi$ . Juga, untuk $\dpi{100} \forall a,b \in \mathbb{C} ; \psi \in H$ dipenuhi $\dpi{100} (a + b)\psi = a\psi + b\psi$
h. Berlaku sifat asosiatif, $\dpi{100} \forall <br><br>a, b \in \mathbb{C}$ dan $\dpi{100} \psi \in H$ dipenuhi $\dpi{100} a(b\psi) = b(a\psi) = (ab)\psi$

i. Terdapat unsur satuan (unitary) $\dpi{100} I$ sedemikian sehingga berlaku $\dpi{100} I \psi = \psi I = \psi$

j. Terdapat unsur nol $\dpi{100} \theta$ sedemikian sehingga untuk $\dpi{100} \forall \psi \in H$ dipenuhi $\dpi{100} \psi \theta = \theta \psi = \theta$ .

B.Produk (hasil kali) skalar antara dua buah vektor(2) $\dpi{100} (\phi , \psi) \in H$

Produk (hasil kali) skalar atau hasil kali titik sebuah vektor didefinisikan oleh :
$\dpi{100} \vec{a}.\vec{b} = \sum_{i=1}^{n}a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

Sifat - sifat produk skalar :

1. $\dpi{100} ( \psi , \phi ) = ( \phi , \psi )^*$ untuk $\dpi{100} \forall \psi,\phi \in H$ .
Bukti :
$\dpi{100} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \psi , \phi ) = ( \phi^* \psi )^* \\ = (\phi^* \psi)^* \\ = \psi^* \phi$

2. Linier terhadap yang kedua dan antilinier terhadap yang pertama.
Misal,
$\dpi{100} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \phi = a\phi_1 + b\phi_2 \; \; \; \;\; \forall \phi_1, \phi_2, \phi_n , \psi \in H \\ \forall a, b, \in \mathbb{C}$
maka
$\dpi{100} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \!(\psi,\phi) = (\psi,a\phi_1+b\phi_2) \\ = (\psi,a\phi_1)+(\psi+b\phi_2) \\= a(\psi,\phi_1)+ b(\psi,\phi_2)$
Dan jika
$\dpi{100} \psi = a\psi_1+b\psi_2$
maka
$\dpi{100} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! (\psi, \phi) = (a\psi_1+b\psi_2,\phi) \\ = (a\psi_1 , \phi)+(b\psi_1,\phi) \\ = a^*(\psi_1, \phi)+b^*(\psi_2,\phi)$
dengan $\dpi{100} a^*,b^*$ adalah konjugat kompleks dari $\dpi{100} a$ dan $\dpi{100} b$ .

3. Produk skalar $\dpi{100} \psi \in H$ dengan dirinya sendiri adalah bilangan real positif.

$\dpi{100} \! \! \! \! \! \! \! \!(\psi,\psi) = \left | \psi \right |^2 \geqslant 0 \\ (\psi,\psi) = 0 \Leftrightarrow \psi = 0$ .

C.Ruang Hilbert bersifat separabel

Terdapat barisan Cauchy(3) $\dpi{100} \psi_n \in H (n=1,2,3,...)$ sedemikian sehingga $\dpi{100} \forall \psi \in H$ dan $\dpi{100} \varepsilon > 0$ terdapat minimal satu unsur $\dpi{100} \psi_n$ sehingga dipenuhi $\dpi{100} \left \| \psi - \psi_n \right \|< \varepsilon$ .

D. H bersifat komplit

Setiap barisan Cauchy $\dpi{100} \psi _n \in H$ kovergen menuju salah satu unsur H.

Catatan :

(1) Jika bilangan skalarnya kompleks disebut ruang vektor kompleks. Adapun ruang yang hanya mempunyai sifat pertama ini saja disebut ruang Pra-Hilbert.

(2) Kadang - kadang ditulis $\dpi{100} \phi ^* \psi$ . Dirac menggunakan notasi lain untuk mendeskripsikan operasi ini, yakni $\dpi{100} \langle \psi | \phi \rangle$ . Notasi ini disebut bra-ket. Keterangan lebih lanjut di bagian 3.

(3) Untuk mudahnya, barisan Cauchy adalah barisan yang divergen ( semakin kecil dan mendekati nilai tertentu).

0 komentar:

Posting Komentar

Monggo komentar...