NARASOMA NOTEBOOK

Diberikan suatu fungsi berpeubah tunggal , yang mempunyai diferensial total

dengan . Fungsi memberikan harga kemiringan di setiap titik (). Hendak dicari suatu fungsi yang setara dengan , yakni fungi dengan informasi serupa , tetapi hanya bergantung pada peubah . Jadi, diharapkan ada fungsi yang dapat dihitung dari dan sebaliknya tanpa memunculkan sifat ambigu.

Gambar 1 ; Grafik fungsi  berikut garis lurus yang menyinggung fungsi tersebut di titik .

Gambar di atas menunjukkan bahwa garis yang menyinggung fungsi  di titik memenuhi persamaan berikut
Didefinisikan . Karena itu diperoleh
Dengan kata lain, fungsi adalah suatu fungsi yang memberikan harga kemiringan di setiap titik Orang menyebut fungsi sebagai alihragam Legendre bagi untuk semua nilai .

Sekarang, akan ditunjukkan bahwa nilai hanya bergantung pada . Untuk melakukan itu, didiferensialkan sehingga diperoleh
Adapun untuk mengetahui nilai di secara eksplisit, terlebih dahulu orang harus memastikan bahwa mempunyai invers . Peubah tidak lain adalah . Maka
yang secara eksplisit hanya gayut pada . Maka orang dapat mengambil kesimpulan bahwa suatu fungsi dengan peubah mempunyai alihragam Legendre secara tunggal jika dan hanya jika mempunyai nilai tunggal untuk setiap .  Berdasarkan pemahaman kita pada kalkulus, kita tahu bahwa fungsi harus melulu secara kaku (strictly monotonic) agar mempunyai invers. Jika ada dua atau lebih yang berbagi harga , maka tentu alihragam Legendrenya tidak tunggal, bahkan boleh jadi tidak terdefinisi. Akan tetapi daerah asal fungsi  dapat dibatasi pada nilai - nilai yang mengakibatkan  mempunyai invers. Fungsi semacam ini dikatakan mempunyai alihragam Legendre perpotong.

-------------------------------------------------------------------------------
Contoh
1. Tentukan alihragam Legendre untuk fungsi sederhana .
2.Tentukan alihragam Legendre untuk fungsi sederhana .
Selesaian : 
1. , atau . Maka alihragam Legendre untuk fungsi di atas adalah
yang kegayutannya terhadap peubah secara eksplisit dapat diperoleh dengan menyisipkan harga , yakni
--------------------------------------------------------------------------------

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa, ketika diberikan alihragam Legendre bagi suatu fungsi, orang dapat menjalankan suatu algoritma tunggal untuk mendapatkan fungsi semula dari alihragam Legendre tersebut. Ingat kembali
yang memberikan
Peubah hendak digantikan oleh peubah secara tunggal. Ketika  melulu, maka juga melulu, sehingga persamaan ini dapat diselesaikan untuk . Jadi
sehingga diperoleh kembali fungsi awal .

Perampatan
Perampatan alihragam Legendre ke fungsi berpeubah banyak tidak membutuhkan langkah khusus. Misalkan diberikan, maka
dengan dan . Jika peubah hendak diganti dengan peubah , maka diambil
dengan diferensial total
Untuk menghitung kegayutan secara eksplisit pada peubah dan saja, maka terlebih dahulu harus berlaku bahwa  mempunyai invers untuk semua nilai . Selanjutnya, harga yang diperoleh disisipkan ke untuk mendapatkan .
Perampatan yang lebih jauh juga dapat dilakukan. Diberikan fungsi diferensiabel dengan sembarang bilangan bulat positif.
maka dapat didefinisikan suatu fungsi baru
dengan .


Sumber : Greiner, W., Neise, L., Stoocker, H., (1995), Thermodynamics and Statisical Mechanics, Springer-Verlag, New York.