twitter


Keadaan suatu sistem fisis mikroskopik dalam mekanika kuantum diwakili oleh vektor keadaan (state vector) dalam ruang Hilbert H.

Apa yang dimaksud dengan ruang Hilbert H?

Ruang H adalah ruang vektor kompleks yang memenuhi sifat - sifat berikut :
A. H adalah ruang vektor linier.
B. H dibekali dengan hasilkali skalar (scalar product)
C. H separabel
D. H adalah ruang vektor yang komplit.


A. Ruang vektor linier(1)

Andaikan H adalah sebarang himpunan yang terdiri atas himpunan vektor dan himpunan skalar . H disebut ruang vektor linier jika dalam H didefinisikan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar sedemikian rupa sehingga dipenuhi sifat - sifat berikut :

a. dan maka . Bentuk seperti ini biasa disebut sifat abelian, tertutup, atau bisa juga disebut klosur.

b. Berlaku sifat komutatif. Untuk  dipenuhi

c. Berlaku sifat asosiatif. Untuk dipenuhi sifat

d. Terdapat vektor nol sedemikian sehingga berlaku 

e. Terdapat invers (lawan) terdapat sedemikian sehingga.

f. dan  maka   juga merupakan anggota ruang Hilbert.

g. Berlaku sifat distributif, dan dipenuhi . Juga, untuk dipenuhi
h. Berlaku sifat asosiatif,   dan dipenuhi

i. Terdapat unsur satuan (unitary) sedemikian sehingga berlaku

j. Terdapat unsur nol sedemikian sehingga untuk dipenuhi  .


B.Produk (hasil kali) skalar antara dua buah vektor(2)

Produk (hasil kali) skalar atau hasil kali titik sebuah vektor didefinisikan oleh :


Sifat - sifat produk skalar :

1. untuk .
Bukti :


2. Linier terhadap yang kedua dan antilinier terhadap yang pertama.
Misal,

maka

Dan jika

maka

dengan adalah konjugat kompleks dari dan .

3. Produk skalar dengan dirinya sendiri adalah bilangan real positif.

.


C.Ruang Hilbert bersifat separabel

Terdapat barisan Cauchy(3) sedemikian sehingga dan terdapat minimal satu unsur sehingga dipenuhi .


D. H bersifat  komplit

Setiap barisan Cauchy kovergen menuju salah satu unsur H.




Catatan :

(1) Jika bilangan skalarnya kompleks disebut ruang vektor kompleks. Adapun ruang yang hanya mempunyai sifat pertama ini saja disebut ruang Pra-Hilbert.

(2) Kadang - kadang ditulis . Dirac menggunakan notasi lain untuk mendeskripsikan operasi ini, yakni . Notasi ini disebut bra-ket. Keterangan lebih lanjut di bagian 3.

(3) Untuk mudahnya, barisan Cauchy adalah barisan yang divergen ( semakin kecil dan mendekati nilai tertentu).


Sambil menunggu koneksi internet tersambung, saya menulis ini. Sebenarnya idenya sudah muncul beberapa hari yang lalu, tapi karena tugas kuliah yang menumpuk maka tulisan ini baru bisa saya kerjakan sekarang.

Berawal dari ruang 406, saat saya menjalani bimbingan belajar untuk materi trigonometri bersama kakak angkatan dari prodi pendidikan fisika. Saya pastikan anda dapat menduga bahwa pelajaran trigonometri selalu diawali dengan masalah sudut. Terkait sudut, kakak angkatan saya mendefinisikannya sebagai "Suatu daerah yang dibatasi oleh dua buah garis lurus". Dengan meninjau gambar sudut di bawah sekilas tak ada masalah tentang definisi itu. Namun jika kita jeli, akan kita ketidakkonsistenan definisi tersebut.

Gambar 1 : Sudut
Merasa mendapat keganjilan, saya pun mengangkat tangan. Argumen saya adalah, jika sudut merupakan daerah dan jumlah maksimumnya (360 derajat) berbentuk lingkaran, maka apakah sudut 360 derajat itu adalah luas lingkaran? Kakak angkatan saya mengatakan bahwa ia sama sekali tidak menyebutkan luas, tapi "daerah". Dalam hati saya berkata, "Sulit bagi saya untuk memahami suatu 'daerah' -dalam ranah matematika- yang tidak mempunyai luas." Saat saya hendak mengutarakan pernyataan ini, seorang teman dari arah belakang bertanya menyindir, "Kenapa harus dipersulit gitu lo?".

Dengan mengabaikan teman saya itu untuk sementara, saya memusatkan perhatian pada kalimat yang ditulis kakak angkatan saya di whiteboard itu. Tampak bahwa dia mulai kesulitan untuk menjawab. Saya pun meyakinkan -dengan berekspresi menenangkan- bahwa tujuan saya bertanya hal sepele seperti itu bukan untuk menjatuhkan mental pemateri, melainkan semata - mata karena keingintahuan serta kritik terhadap deskripsi yang tidak konsisten untuk disiplin ilmu pasti sekaliber matematika. Karenanya, saya menyarankan agar kami sama - sama mencari definisi yang tepat untuk sebuah sudut.

Google menjadi patner utama saya saat browsing dan teringat untuk memecahkan masalah ini. Dan benar, di sini sudut tidak didefinisikan sebagai "daerah" melainkan suatu "bentuk" yang terdiri dari dua garis atau sinar yang bercabang dari sebuah titik temu (verteks).(1) Sekalipun kesannya lebih abstrak tetapi saya kira justru definisi inilah yang lebih masuk akal.

Dan, satu jawaban untuk teman saya yang bertanya dari arah belakang. Salah satu perbedaan antara orang "bodoh" dan orang "pintar" adalah, orang bodoh selalu berusaha untuk menghindari masalah dengan berbagai alasan yang dibuat - buat. Sedangkan orang pintar selalu mencari masalah untuk diselesaikan dengan harapan seiring dengan itu pengalaman mereka juga bertambah.

Selain itu, matematika cukup erat kaitannya dengan masalah filsafat atau pencarian kebenaran. Nah, jika kita membiasakan diri untuk membenarkan kesalahan sepele nan sederhana -sehingga kita kira salah pun tak jadi soal-, bagaimana kita mencari Sang Kebenaran yang notabenenya teramat kompleks? Atau jangan - jangan keimanan kita pada Yang Maha Benar itu hanya karena ikut - ikutan atau sekedar "daripada tidak" ?

Nah, kawanku yang baik. Pikirkanlah!

(1) www.mathopenref.com