NARASOMA NOTEBOOK: Kalkulus Variasi : Penurunan Persamaan Euler-Lagrange

Kalkulus Variasi : Penurunan Persamaan Euler-Lagrange

4 komentar
Posted in Label: Kalkulus, Kalkulus Variasi, Matematika untuk Fisika, Persamaan Euler-Lagrange

Terdapat masalah - masalah fisika yang membutuhkan nilai stasioner (puncak) dari suatu persamaan integral fungsional (fungsi di dalam fungsi). Tinjau persamaan berikut :

$J = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y_x)\, dx$ ... (1)

dengan :
$J$                : Kuantitas yang ditentukan bernilai stasioner.
$y(x,\alpha )$                : sebuah fungsi (tepatnya kelas fungsi) dari $x$ dan $\alpha$ .
$y_x = \frac{\partial y(x,\alpha)}{\partial x}$ : turunan $y$ terhadap $x$ .
$x$                          : variabel bebas.

$f(x, y, y_x)$ diketahui, namun ketergantungannya terhadap $x$ dan $\alpha$ , yakni $y(x,\alpha)$ tidak diketahui. Artinya lintasan eksak $J$ tidak diketahui kendati batas - batas integralnya $x_1$ dan $x_2$ . Misi kita adalah mencari $y$ sedemikian sehingga nilai $J$ stasioner. Ini lebih rumit dari kalkulus biasa karena ada kemungkinan persamaan (1) tidak punya solusi.

Tentunya terdapat tak berhingga lintasan yang mungkin, yang memenuhi persamaan (1). Dua di antaranya dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 1 : Variasi Lintasan

Secara umum, persamaan yang menggambarkan lintasan - lintasan ini adalah

$y(x,\alpha) = y(x, \alpha =0) + \alpha\eta (x)$ ...(2)

$y(x, \alpha =0)$ adalah kurva terpendek (ekstremal), $\alpha$ faktor skala, dan $\eta (x)$ sebarang fungsi $x$ yang menggambarkan perubahan bentuk lintasan serta memiliki titik awal dan akhir yang sama. Jadi $\eta (x_1) = \eta (x_2) = 0$ . Selain itu $\eta (x)$ harus terdiferensial, otomatis $\eta (x)$ kontinu.

Sekarang kita definisikan beda lintasan - lintasan itu, dilambangkan dengan $\delta y$ .

$\delta y = y(x,\alpha) - y(x, \alpha = 0) = \alpha \eta (x)$ ...(3)

kembali ke persamaan (1)

$J(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2}\left [ y(x,\alpha), y(x, \alpha = 0) ,x \right ]dx$ ...(4)

Kondisi ekstrim diperoleh dari

$\left [ \frac{\partial J}{\partial \alpha} \right ] = 0$

yang analog dengan $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ dalam kalkulus differensial. Penurunan secara parsial mengubah bentuk integran $f$ menjadi

$\frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \left [ \frac{\partial f}{\partial y}.\frac{\partial y}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial y_x}.\frac{\partial y_x}{\partial \alpha} \right ]dx$

dari persamaan (2) kita peroleh

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{\partial y(x,\alpha) }{\partial \alpha} = \eta (x) \\ \frac{\partial y_x(x,\alpha)}{\partial \alpha} = \frac{\mathrm{d} \eta(x)}{\mathrm{d} x}$

sehingga

$\frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \left [ \frac{\partial f}{\partial y}.\eta (x) + \frac{\partial f}{\partial y_x}.\frac{\mathrm{d} \eta(x)}{\mathrm{d} x} \right ]dx$ ...(5)

Ambil suku kedua untuk diintegrasikan secara parsial

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y_x}.\frac{\mathrm{d} \eta(x)}{\mathrm{d} x} dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y_x}.d \eta(x) \\ = \frac{\partial f}{\partial y_x}.\eta(x) |^{x_1}_{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{\partial f}{\partial y_x} dx$ ...(6)

suku pertama lenyap karena $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ , jadi dengan mengembalikan hasil ini ke persamaan (5)

$\int_{x_1}^{x_2} \left [ \frac{\partial f}{\partial y}.\eta(x) - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{\partial f}{\partial y_x}.\eta(x) \right ]dx = \int_{x_1}^{x_2} \left [ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{\partial f}{\partial y_x} \right ]\eta(x) dx = 0$ ...(7)

$\eta(x)$ sebarang, karenanya kita mengambil integran persamaan (7) sama dengan nol, yakni

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{\partial f}{\partial y_x} = 0$ ...(8)

yang dikenal dengan persamaan Euler-Lagrange (dalam bentuk yang paling sederhana). Untuk mencari $y(x)$ yang berasal dari persamaan integral stasioner cukup dengan mengolah integrannya dengan persamaan (8).

Bentuk berikut adalah alternatif lain dari persamaan Euler-Lagrange yang kadang berguna :

$\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( f - \frac{\partial f}{\partial y_x} . y_x\right ) = 0$ ,