twitter


Terdapat masalah - masalah fisika yang membutuhkan nilai stasioner (puncak) dari suatu persamaan integral fungsional (fungsi di dalam fungsi). Tinjau persamaan berikut :

... (1)
dengan :
                         : Kuantitas yang ditentukan bernilai stasioner.
               : sebuah fungsi (tepatnya kelas fungsi) dari dan .
: turunan terhadap .
                         : variabel bebas.

diketahui, namun ketergantungannya terhadap dan , yakni tidak diketahui. Artinya lintasan eksak tidak diketahui kendati batas - batas integralnya dan . Misi kita adalah mencari sedemikian sehingga nilai stasioner. Ini lebih rumit dari kalkulus biasa karena ada kemungkinan persamaan (1) tidak punya solusi.

Tentunya terdapat tak berhingga lintasan yang mungkin, yang memenuhi persamaan (1). Dua di antaranya dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 1  :  Variasi Lintasan

Secara umum, persamaan yang menggambarkan lintasan - lintasan ini adalah
...(2)

adalah kurva terpendek (ekstremal), faktor skala, dan sebarang fungsi yang menggambarkan perubahan bentuk lintasan serta memiliki titik awal dan akhir yang sama. Jadi . Selain itu harus terdiferensial, otomatis kontinu.

Sekarang kita definisikan beda lintasan - lintasan itu, dilambangkan dengan .
...(3)
kembali ke persamaan (1)
...(4)
Kondisi ekstrim diperoleh dari
yang analog dengan dalam kalkulus differensial. Penurunan secara parsial mengubah bentuk integran menjadi
dari persamaan (2) kita peroleh
sehingga

...(5)
Ambil suku kedua untuk diintegrasikan secara parsial
...(6)

suku pertama lenyap karena , jadi dengan mengembalikan hasil ini ke persamaan (5)
...(7)
sebarang, karenanya kita mengambil integran persamaan (7) sama dengan nol, yakni
...(8)
yang dikenal dengan persamaan Euler-Lagrange (dalam bentuk yang paling sederhana). Untuk mencari yang berasal dari persamaan integral stasioner cukup dengan mengolah integrannya dengan persamaan (8).

Bentuk berikut adalah alternatif lain dari persamaan Euler-Lagrange yang kadang berguna :
,
yakni didapat dari pengertian turunan total
 .








Sumber :
Arfken, George B. Weber, Hans J. 2005, Mathematical Methods for Physicist 6th Edition, Elseiver Academic Press, California, USA.

4 komentar:

  1. Thanks yah atas pencerahannya.

  1. Sama2
    :D

  1. mau tanya mas, buku kalkulus variasi yang terjemahan bahasa indonesia ada nggak yah?

  1. Setahu saya belum ada mbak.

Posting Komentar

Monggo komentar...